Question

⊙A的方程为x²＋y²－2x－2y－7＝0，⊙B的方程为x²＋y²＋2x＋2y－2＝0，判断⊙A和⊙B是否相交.若相交，求过两交点的直线的方程及两交点间的距离；若不相交，说明理由.

Answer 1

解:⊙A的方程可写为(x－1)²＋(y－1)²＝9,

⊙B的方程可写为(x＋1)²＋(y＋1)²＝4,

∴两圆心之间的距离满足3－2＜|AB|＝＝2＜3＋2,

即两圆心之间的距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差.

∴两圆相交.

⊙A的方程与⊙B的方程左、右两边分别相减得－4x－4y－5＝0,即4x＋4y＋5=0为过两圆交点的直线的方程.

设两交点分别为C、D，则CD：4x＋4y＋5=0.

点A到直线CD的距离为d==.

由勾股定理，得|CD|=2=2=.

点评:判断两圆相交的方法，常用两圆心之间的距离d与两圆半径的和及差的绝对值比较大小,即当|R－r|＜d＜R＋r时，两圆相交.求相交两圆的公共弦长及其方程一般不用求交点的方法，常用两方程相减法消去二次项得公共弦的方程，然后用勾股定理求弦长.