Question

【题目】如图，直角中， ， ， 分别是边的中点，沿将折起至，且.

（1）求四棱锥的体积；

（2）求证：平面⊥平面．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)见解析.

【解析】试题分析：（1）由分别是边的中点，推出平行且等于的一半，则，即可证明平面，从而可证平面，过点作于，可推出平面，从而可求出四棱锥的体积；（2）法一：设线段的中点分别为，连接，则，即可推出是平行四边形，再根据及，推出是等边三角形，结合（1），可推出，从而可证平面⊥平面；法二：连接，易证△是边长为2等边三角形，根据，推出，从而推出，根据∥，可推出，可证，从而可证平面⊥平面.

试题解析：（1）∵分别是边的中点，

∴平行且等于的一半，

依题意， .

于是有平面.

∵平面

∴平面

过点作于，则，

∵

∴

∴梯形的面积

∴四棱锥的体积

（2）（法一）如图．设线段的中点分别为，连接，则，于是.

又是等边三角形.

∴EQ⊥FC

由（1）知.

∴

∴

于是.

∴

又∵

∴平面⊥平面.

（法二）连接，∵

∴△是边长为2等边三角形

∵

∴

∴，

又∵∥

∴

∵

∴

又∵，

∴

又∵，

∴平面⊥平面.