Question

已知点A(-

3

，0)和B(

3

，0)，动点C与A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y=x-2交于D、E两点，求线段DE的长．

Answer 1

分析：根据题意，动点C与A、B两点的距离之差的绝对值为2，则点C的轨迹为双曲线，结合双曲线的定义，可得点C的轨迹方程，联立直线与双曲线的方程，化简可得x²+4x-6=0，设D（x₁，y₁）、E（x₂，y₂），由根与系数的关系可得x₁+x₂=-4，x₁•x₂=-6，结合弦长公式计算可得答案．

解答：解：设点C（x，y），则|CA|-|CB|=±2．
根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1．
由2a=2，2c=| AB |=2

3

，得a²=1，b²=2．
故点C的轨迹方程是x2-

y2

2

=1．
由

x2- y2 2 =1 y=x-2

，得　x²+4x-6=0．
∵△＞0，∴直线与双曲线有两个交点．
设D（x₁，y₁）、E（x₂，y₂），则　x₁+x₂=-4，x₁•x₂=-6．
故| DE |=

(x1-x 2)2+(y1-y2)2

=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=4

5

．

点评：本题考查双曲线的应用，涉及弦长公式，是一道典型的解析几何的题目，平时注意加强这方面的训练．