Question

20．函数f（x）=lg（a•4^x+2^x-1）
（1）如果x∈（1，2）时，f（x）有意义，确定a的取值范围；
（2）a≤0，若f（x）值域为R，求a的值；
（3）在（2）条件下，g（x）为定义域为R的奇函数，且x＞0时，g（x）=10^f（x）+1，对任意的t∈[-1，1]，g（x²+tx）≥$\frac{{g}^{3}（x）}{|g（x）|}$恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据x∈（1，2）时，2^x∈（2，4），设t=2^x，不等式a•t²+t-1＞0恒成立，求出a的取值范围即可；
（2）设h（x）=a•4^x+2^x-1，则h（x）的值域包含（0，+∞），讨论a=0与a＜0时，h（x）的值域情况，求出a的值；
（3）根据题意求出g（x）的解析式，把不等式g（x²+tx）≥$\frac{{g}^{3}（x）}{|g（x）|}$转化为x²+tx≥2x在t∈[-1，1]时恒成立，由此列出不等式组求出x的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=lg（a•4^x+2^x-1），
∴当x∈（1，2）时，2^x∈（2，4）；
设t=2^x，t∈（2，4），
∴a•t²+t-1＞0，
∴a＞$\frac{1}{{t}^{2}}$-$\frac{1}{t}$；
设g（s）=s²-s，s∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），
∴g（s）在s∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）上是单调减函数，且g（$\frac{1}{4}$）=-$\frac{3}{16}$，
∴a≥-$\frac{3}{16}$，即a的取值范围是[-$\frac{3}{16}$，+∞）；
（2）令h（x）=a•4^x+2^x-1，由题意，h（x）的值域包含（0，+∞）；
①a=0时，h（x）=2^x-1，其值域为（-1，+∞），满足条件；
②a＜0时，h（x）=a•4^x+2^x-1=a•（2^x）²+2^x-1，
令t=2^x，则h（x）的值域是（-∞，-1-$\frac{1}{4a}$），不满足条件；
综上，a=0；
（3）∵f（x）=lg（2^x-1），且g（x）为定义域为R的奇函数，
当x＞0时，g（x）=10^f（x）+1=2^x，
∴x＜0时，-x＞0，g（-x）=2^-x，
∴g（x）=-g（-x）=-2^x；
∴g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x＞0}\\{0，x=0}\\{{-2}^{-x}，x＜0}\end{array}\right.$，
∴$\frac{{g}^{3}（x）}{|g（x）|}$=g（2x），且x≠0；
∴不等式g（x²+tx）≥$\frac{{g}^{3}（x）}{|g（x）|}$可化为g（x²+tx）≥g（2x）；
又g（x）是定义域上的单调增函数，
∴x²+tx≥2x在t∈[-1，1]时恒成立，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x-2x≥0}\\{{x}^{2}-x-2x≥0}\\{x≠0}\end{array}\right.$，
解得x＜0或x≥3；
∴x的取值范围是（-∞，0）∪[3，+∞）．

点评 本题考查了指数函数与对数函数的应用问题，也考查了分类讨论与转化思想的应用问题，是综合性题目．