Question

袋中装着标有数字1，2，3，4的卡片各1张，甲从袋中任取2张卡片（每张卡片被取出的可能性都相等），并记下卡面数字和为X，然后把卡片放回，叫做一次操作．
（1）求在一次操作中随机变量X的概率分布和数学期望E（X）；
（2）甲进行四次操作，求至少有两次X不大于E（X）的概率．

Answer 1

分析：（1）由题设知，X可能的取值为：3，4，5，6，7；计算出随机变量X的概率分布进而利用求数学期望的公式得到X的数学期望E（X）；
（2）记“一次操作所计分数X不大于E（X）”的事件记为C，则P（C）=

2

3

． 设四次操作中事件C发生次数为Y，则Y～B（4，

2

3

）．则其服从二项分布，所以所求事件的概率为P（Y≥2）=

8

9

．

解答：解：（1）由题设知，X可能的取值为：3，4，5，6，7．
随机变量X的概率分布为

X	3	4	5	6	7
P	1 6	1 6	1 3	1 6	1 6

因此X的数学期望E（X）=（3+4+6+7）×

1

6

+5×

1

3

=5．
（2）记“一次操作所计分数X不大于E（X）”的事件记为C，则
P（C）=P（“X=3”或“X=4”或“X=5”）=

1

6

+

1

6

+

1

3

=

2

3

． 
设四次操作中事件C发生次数为Y，则Y～B（4，

2

3

）
则所求事件的概率为P（Y≥2）=1-C₄¹×

2

3

×（

1

3

）³-C₄⁰×（

1

3

）⁴=

8

9

．

点评：解决此类题目的关键是正确求得随机变量的取值以及每个值得概率，熟练掌握求离散型随机变量的概率分布的方法步骤．