Question

如图，已知ABCD－A₁B₁C₁D₁是棱长为3的正方体，点E在AA₁上，点F在CC₁上，且AE＝FC₁＝1．

(1)求证：E，B，F，D₁四点共面；

(2)若点G在BC上，BG＝，点M在BB₁上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥面BCC₁B₁；

(3)用表示截面EBFD₁和面BCC₁B₁所成锐二面角大小，求tan．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)证明：在DD1上取一点N使得DN＝1，连接CN，EN，显然四边形CFD1N是平行四边形，所以D1F∥CN，同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN∥AD，且EN＝AD，又BC∥AD，且AD＝BC，所以EN∥BC，EN＝BC，所以四边形CNEB是平行四边形，所以CN∥BE，所以D1F∥BE，所以E，B，F，D1四点共面． 　　(2)因为所以∽MBG，所以，即，所以MB＝1，因为AE＝1，所以四边形ABME是矩形，所以EM⊥BB1又平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，且EM在平面ABB1A1内，所以面 　　(3)面，所以BF，MH，，所以∠MHE就是截面和面所成锐二面角的平面角，∠EMH＝，所以，ME＝AB＝3，∽MHB，所以3∶MH＝BF∶1，BF＝，所以MH＝，所以＝