Question

14．已知数列{a_n}的前项和为S_n，且满足3S_n=2a_n+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足b_n=（n+1）a_n，求数列{b_n}的前项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）化简可得{a_n}是以2为首项，-2为公比的等比数列，从而求得a_n；
（2）化简b_n=（n+1）（-2）^n-1，从而利用错位相减法求其前n项和即可．

解答 解：（1）n=1时，3S₁=2a₁+1
，解得a₁=1，n≥2时，3S_n=2a_n+1，3S_n-1=2a_n-1+1，
可得3a_n=2a_n-2a_n-1，
∴{a_n}是以1为首项，-2为公比的等比数列，
故a_n=（-2）^n-1，
（2）b_n=（n+1）a_n=（n+1）（-2）^n-1，
故T_n=2×1+3×（-2）+4×（-2）²+…+（n+1）（-2）^n-1，
-2T_n=2×（-2）+3×（-2）²+4×（-2）³+…+（n+1）（-2）ⁿ，
两式作差可得，
3T_n=2×（-2）⁰+（-2）+（-2）²+（-2）³+…+（-2）^n-1-（n+1）×（-2）ⁿ
=1+$\frac{1-（-2）^{n-1}}{3}$-（n+1）（-2）ⁿ
故T_n=$\frac{4}{9}$-$\frac{3n+4}{9}×（-2）^{n}$．

点评 本题考查了数列的通项公式的求法及构造法的应用，同时考查了错位相减法的应用．