Question

【题目】如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，，.

（Ⅰ）判断平面与平面是否垂直，并给出证明；

（Ⅱ）若，，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）利用反证法证明，假设面PBC⊥面PCD，过点B作BQ⊥PC于Q，由面面垂直的性质可得BQ⊥CD，知BC⊥CD，则CD⊥PC，由平面底面，则CD⊥PD，出现矛盾；（Ⅱ）取AD中点O，连PO，OB，证明OA、OB、OP两两互相垂直，以OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴建立如空间直角坐标系O﹣xyz，分别求面PAB与面PBC的法向量，由两法向量所成角余弦值可得二面角A﹣PB﹣C余弦值．

（Ⅰ）平面与平面不垂直.证明如下：

假设平面平面，过点作于

∵平面平面，平面平面

∴平面

∴

在直角梯形中，由，知

又∵

∴ 平面，故

∵ 平面底面，平面底面，

∴ 平面∴

在中，不可能有两个直角，所以假设不成立

（Ⅱ）设的中点为，连接，

∵∴

∵ 平面底面，平面底面

∴底面

∵在直角梯形中，，∴

以、、所在直线分别为、、轴建立如图所示空间直角坐标系

∵，，

∴，，，

∴，，，

设平面的法向量为

由， 取

同理可得平面的法向量

∴.

由图形可知，所求二面角为钝角

∴二面角的余弦值