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【题目】已知函数,(是自然对数的底数).

1)求的单调区间;

2)若函数,证明:有极大值,且满足.

【答案】1)函数的减区间为,增区间为.(2)证明见解析

【解析】

1)直接求出函数的导函数,令,解得,即可求出函数的单调区间;

2)首先求出的导函数,设,再对求导,说明其单调性,根据函数零点存在性定理可得上存在极大值;

解:(1,设

∴当时,单调递减;

时,单调递增. 即函数的减区间为;增区间为.

2)因为

,且

, 在时,,所以上单调递增,

.

上是单调递增,∴没有极值.

,解得. 在时,单调递减,

. 由根的存在性定理:设,使得:

.

∵在,∴单调递增; 在

,∴单调递减;∴有极大值.∵有. 又∵

.

综上可得:函数有极大值,且满足.

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列表:

x

y

作图:

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分组(单位

千步)

频数

10

20

20

30

400

200

200

100

20

1)现规定,日健步步数不低于13000步的为健步达人,填写下面列联表,并根据列联表判断能否有99.9%的把握认为是否为健步达人与年龄有关;

健步达人

非健步达人

总计

40岁以上的市民

不超过40岁的市民

总计

2)利用样本平均数和中位数估计该市不超过40岁的市民日健步步数(单位:千步)的平均数和中位数;

3)若日健步步数落在区间内,则可认为该市民运动适量,其中分别为样本平均数和样本标准差,计算可求得频率分布直方图中数据的标准差约为3.64.若一市民某天的健步步数为2万步,试判断该市民这天是否运动适量

参考公式:,其中.

参考数据:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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