Question

已知F₁，F₂是双曲线

x2

4

-

y2

9

=1的左右焦点，AB是过F₁的一条弦（A、B均在双曲线的左支上）．
（1）若△ABF₂的周长为30，求|AB|；
（2）若∠F1AF2=

π

3

，求△F₁AF₂的面积．

Answer 1

分析：（1）算出双曲线a、b、c的值，根据双曲线的定义证出|AF₂|+|BF₂|=|AB|+8，由△ABF₂的周长为30，代入前面的等式得到关于|AB|的方程，解之即可得到|AB|的值；
（2）若∠F1AF2=

π

3

，在△F₁AF₂利用余弦定理，结合双曲线的定义与焦距为2

13

化简，得到|AF₁|•|AF₂|=36，再利用三角形的面积公式加以计算，即可得到△F₁AF₂的面积．

解答：解：（1）∵双曲线的方程为

x2

4

-

y2

9

=1，
∴a=2，b=3，可得c=

a2+b2

=

13

．
由双曲线定义，得|AF₂|-|AF₁|=4且|BF₂|-|BF₁|=4，
由此可得|AF₂|+|BF₂|-|AB|=（|AF₂|-|AF₁|）+（|BF₂|-|BF₁|）=8，
∴|AF₂|+|BF₂|=|AB|+8，
可得△ABF₂周长为|AB|+|AF₂|+|BF₂|=2|AB|+8=30，解之得|AB|=11；（2）∵△AF₁F₂中，∠F1AF2=

π

3

，
∴根据余弦定理，可得|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|•|AF2|•cos∠F1AF2
=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|•|AF2|•

1

2

=(|AF1| -|AF2|)2+|AF1|•|AF2|，
∵|F₁F₂|=2c=2

13

，|AF₂|-|AF₁|=2a=4
∴4×13=16+|AF₁|•|AF₂|，解之得|AF₁|•|AF₂|=36．
因此，△F₁AF₂的面积S=

1

2

|AF1|•|AF2|×sin

π

3

=

1

2

×36×

3

2

=9

3

．

点评：本题着重考查了双曲线的定义与标准方程、双曲线的简单性质、利用余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于中档题．