已知抛物线(
)上一点
到其准线的距离为
.
(Ⅰ)求与
的值;
(Ⅱ)设抛物线上动点
的横坐标为
(
),过点
的直线交
于另一点
,交
轴于
点(直线
的斜率记作
).过点
作
的垂线交
于另一点
.若
恰好是
的切线,问
是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.
(Ⅰ),
(Ⅱ)定值
解析试题分析:(Ⅰ)由抛物线方程得其准线方程:,点
到其准线的距离即
,解得
,
抛物线方程为:
,将
代入抛物线方程,解得
.
(Ⅱ)由题意知,过点的直线
斜率
不为
,
则,当
时,
,则
.
联立方程,消去
,得
,
解得或
,
,
而,
直线
斜率为
,
,联立方程
消去,得
,
解得:,或
,
,
所以,抛物线在点处切线斜率:
,
于是抛物线在点
处切线的方程是:
,①
将点的坐标代入①,得
,
因为,所以
,故
,
整理得,
即为定值.
考点:抛物线定义方程及直线与抛物线的位置关系
点评:第一问的求解采用抛物线定义:抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,较简单,第二问直线与抛物线相交为背景,常联立方程组转化,本题第二问计算量较大,学生在数据处理时可能出问题
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知曲线,
(1)化的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线?
(2)若上的点P对应的参数为
,Q为
上的动点,求PQ的中点M到直线
的距离的最小值
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知平面上动点P()及两个定点A(-2,0),B(2,0),直线PA、PB的斜率分别为
、
且
(I)求动点P所在曲线C的方程。
(II)设直线与曲线C交于不同的两点M、N,当OM⊥ON时,求点O到直线
的距离。(O为坐标原点)
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知双曲线的离心率为
,右准线方程为
。
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)已知直线与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆
上,求实数m的值。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的离心率为
,短轴的一个端点到右焦点的距离为
,直线
交椭圆于不同的两点
。
(1)求椭圆的方程;
(2)若坐标原点到直线
的距离为
,求
面积的最大值。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)
已知椭圆的左右焦点分别为
、
,由4个点
、
、
和
组成一个高为
,面积为
的等腰梯形.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线和椭圆交于
、
两点,求
面积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知M (-3,0)﹑N (3,0),P为坐标平面上的动点,且直线PM与直线PN的斜率之积为常数m (m,m
0),点P的轨迹加上M、N两点构成曲线C.
求曲线C的方程并讨论曲线C的形状;
(2) 若,曲线C过点Q (2,0) 斜率为
的直线
与曲线C交于不同的两点A﹑B,AB中点为R,直线OR (O为坐标原点)的斜率为
,求证
为定值;
(3) 在(2)的条件下,设,且
,求
在y轴上的截距的变化范围.
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