Question

已知定义在R上的函数f（x）的导函数f′（x），满足f′（x）＜f（x），f（2+x）=f（2-x），f（4）=1，则不等式f（x）＜e^x的解集为（　　）

• A、（-2，+∞）
• B、（0，+∞）
• C、（1，+∞）
• D、（4，+∞）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：由题意知，f（0）=1，再令g（x）=

f(x)

ex

（x∈R），从而求导g′（x）=

f′(x)-f(x)

ex

＜0，从而可判断y=g（x）单调递减，从而可得到不等式的解集．

解答： 解：∵f（2+x）=f（2-x），
∴f（4）=f（0）=1；
设g（x）=

f(x)

ex

（x∈R），则g′（x）=

f′(x)-f(x)

ex

，
又∵f′（x）＜f（x），
∴f′（x）-f（x）＜0，
∴g′（x）＜0；
∴y=g（x）单调递减，
而当x=0时，g（0）=

f(0)

e0

=1；
故当x＞0时，g（x）＜1，当x＜0时，g（x）＞1，
故当x＞0时，有f（x）＜e^x；
故不等式的解集为（0，+∞），
故选：B．

点评：本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用，属于中档题．