【题目】在数列{an}中,an>0,a1= ,如果an+1是1与 的等比中项,那么a1+ + + +… 的值是 .
【答案】
【解析】解:∵an+1是1与 的等比中项,
∴ = ,
又∵an>0,a1= ,
∴ = ,即:15 ﹣4a2﹣4=0,
解得:a2= 或a2=﹣ (舍),
猜想:an= .下面用数学归纳法来证明:
(1)当n=1时,命题显然成立;
(2)假设当n=k时有ak= ,则 = ,
∴ = ,即 ﹣ ak﹣1=0,
∴( ak+1﹣1)( +1)=0,解得:ak+1= 或ak+1=﹣ (舍),
即当n=k+1时,命题也成立;
由(1)(2)可知an= .
∴a1+ + + +… = + + +…+
=(1﹣ )+( ﹣ )+…+( ﹣ )
=1﹣
= ,
所以答案是: .
【考点精析】本题主要考查了数列的通项公式的相关知识点,需要掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题.
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【题目】已知a<0,关于x的一元二次不等式ax2﹣(2+a)x+2>0的解集为( )
A.{x|x< 或x>1}
B.{x| <x<1}
C.{x|x<1或x> }
D.{x|1<x< }
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【题目】已知椭圆 的离心率为 ,其左顶点A在圆O:x2+y2=16上.
(1)求椭圆W的方程;
(2)若点P为椭圆W上不同于点A的点,直线AP与圆O的另一个交点为Q.是否存在点P,使得 ?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】正数数列{an}的前n项和为Sn , 已知对于任意的n∈Z+ , 均有Sn与1正的等比中项等于an与1的等差中项.
(1)试求数列{an}的通项公式;
(2)设bn= ,数列{bn}的前n项和为Tn , 求证:Tn< .
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【题目】已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有丨FA丨=丨FD丨.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.
(1)求C的方程;
(2)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,
(ⅰ)证明直线AE过定点,并求出定点坐标;
(ⅱ)△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c,设向量 =(a﹣c,a﹣b), =(a+b,c),且 ∥ ,
(1)求B;
(2)若a=1,b= ,求△ABC的面积.
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