Question

（2012•威海一模）已知向量

m

=(2cosx，

3

cosx-sinx)，

n

=(sin(x+

π

6

)，sinx)，且满足f(x)=

m

•

n

．
（I）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（II）设△ABC的内角A满足f（A）=2，且

AB

•

AC

=

3

，求边BC的最小值．

Answer 1

分析：（I）根据向量的数量积公式和三角函数恒等变换的公式，化简得函数f（x）=2sin(2x+

π

6

)，再由正弦函数的递增区间和整体思想进行求解；
（II）把条件代入（I）得到的解析式化简，再由A的范围和正弦值求出A，再代入2sin(2x+

π

6

)化简求出bc的值，结合余弦定理和基本不等式求出a的最小值．

解答：解：（I）由题意得f(x)=

m

•

n

=2cosxsin(x+

π

6

)+（

3

cosx-sinx）sinx
=2

3

sinxcosx+cos²x-sin²x=

3

sin2x+cos2x
=2sin(2x+

π

6

)，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得，kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
则所求的单调递增区间是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．
（Ⅱ）由f（A）=2得，2sin(2x+

π

6

)=2，即sin(2x+

π

6

)=1，
∵0＜A＜π，∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，即2A+

π

6

=

π

2

，解得A=

π

6

，
由

AB

•

AC

=

3

得，bccosA=

3

，解得bc=2，
在△ABC中，a²=b²+c²-2bccosA
=b2+c2-

3

bc≥2bc-

3

bc=(2-

3

)bc，当且仅当b=c时取等号，
∴amin2=(2-

3

)×2=4-2

3

，即a=

4-2 3

=

3

-1．

点评：本题考查了向量的数量积运算，三角函数恒等变换公式，以及余弦定理和基本不等式的综合应用，掌握正弦函数的基本性质和解析式正确化简，是解好本题的关键．