Question

15．已知函数f（x）=（x-1）-alnx（x＞0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若f（x）≥0对x∈[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）正确求得函数的导函数是关键，再求得导函数后，利用f'（x）＞0，解自变量的取值范围时要对参数a进行讨论，很明显由f′（x）以及x＞0，可分a≤0和a＞0来讨论得解．
（Ⅱ）由f（x）≥0对x∈[1，+∞）上恒成立可分a≤1和a＞1来讨论转化为函数的最小值大于等于0的问题来求解．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=1-$\frac{a}{x}$=$\frac{x-a}{x}$（x＞0）（1分）
当a≤0时，f'（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）上为增函数，无极值          （2分）
当a＞0时，f′（x）=$\frac{x-a}{x}$=0，x=a，
f（x）在（0，a）上为减函数，在（a，+∞）上为增函数        （2分）
有极小值f（a）=（a-1）-alna，无极大值（1分）
（Ⅱ）f′（x）=1-$\frac{a}{x}$=$\frac{x-a}{x}$，
当a≤1时，f'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，则f（x）是单调递增的，
则f（x）≥f（1）=0恒成立，则a≤1（13分）
当a＞1时，在（1，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
所以x∈（1，a）时，f（x）≤f（1）=0这与f（x）≥0恒成立矛盾，故不成立（3分）
综上：a≤1．

点评 本题考查函数的导数以及利用到输球函数的单调区间和极值问题；考查了利用函数的导数讨论含参数不等式的恒成立问题，求参数的取值范围，主要转化为函数的最值问题利用导数这一工具来求解．