Question

（本题满分12分）已知棱长为的正方体中，M,N分别是棱CD,AD的中点。（1）求证：四边形是梯形；（2）求证：

Answer 1

见解析。

试题分析：（1）结合三角形的中位线的性质得到MN=AC，以及MN∥A₁C₁得到证明。
（2）由（1）可知MN∥A₁C₁，又∵ND∥A₁D₁，根据等角定理得到结论。
证明：（1）连接AC，在△ACD中，
∵M，N分别是棱CD，AD的中点，
∴MN是三角形的中位线，
∴MN∥AC，MN=AC。由正方体的性质得：AC∥A₁C₁，AC=A₁C₁。
∴MN∥A₁C₁，且MN= A₁C₁，即MN≠A₁C₁，∴四边形MN A₁C₁是梯形。
（2）由（1）可知MN∥A₁C₁，又∵ND∥A₁D₁，
∴∠DNM与∠D₁A₁C₁相等或互补，而∠DNM与∠D₁A₁C₁均是直角三角形的锐角，
∴∠DNM=∠D₁A₁C₁
点评：解决该试题的关键是能通过正方体的性质得到梯形的形状的判定，以及运用等角定理来得到角的相等的证明。