Question

11．已知椭圆${C_1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，焦距为$2\sqrt{2}$，抛物线${C_2}：{x^2}=2py（p＞0）$的焦点F是椭圆C₁的顶点．
（I）求C₁与C_2′的标准方程；
（II）已知直线y=kx+m与C₂相切，与C₁交于P，Q两点，且满足∠PFQ=90°，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆的焦距，离心率求出a，c，b．即可得到椭圆C₁的方程．利用抛物线的开口方向，焦点坐标求出抛物线方程．
（2）联立直线与抛物线方程，得到m与k的方程，直线与椭圆方程，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用韦达定理以及向量的数量积，转化求解方程组即可得到结果．

解答 （本小题满分12分）
解：（I）设椭圆C₁的焦距为2c，依题意有$2c=2\sqrt{2}$，
椭圆${C_1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
解得$a=\sqrt{3}$，b=1，故椭圆C₁的标准方程为$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．…（3分）
又抛物线C₂：x²=2py（p＞0）开口向上，故F是椭圆C₁的上顶点，
∴F（0，1），∴p=2，
故抛物线C₂的标准方程为x²=4y．…（4分）
（II）由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=4y\\ y=kx+m\end{array}\right.$，得x²-4kx-4m=0
则△=16k²+16m=0，即k²+m=0①…（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0
则△=36k²-4（1+3k²）（3m²-3）=12（3k²-m²+1）＞0②
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=\frac{-6km}{{1+3{k^2}}}\\{x_1}{x_{2′}}=\frac{{3{m^2}-3}}{{1+3{k^2}}}\end{array}\right.$所以$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=\frac{2m}{{1+3{k^2}}}\\{y_1}{y_{2′}}=\frac{{{m^2}-3{k^2}}}{{1+3{k^2}}}\end{array}\right.$…（8分）
又∠PFQ=90°
∴$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}={x_1}{x_2}+（{y_1}-1）（{y_2}-1）={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}-（{y_1}+{y_2}）+1=0$
即$\frac{{3{m^2}-3}}{{1+3{k^2}}}+\frac{{{m^2}-3{k^2}}}{{1+3{k^2}}}-\frac{2m}{{1+3{k^2}}}+1=0$
∴2m²-m-1=0，解得m=1或$m=-\frac{1}{2}$，…（10分）
代入①可得$k=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，此时满足②
故$k=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（12分）

点评 本题考查直线椭圆椭圆抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．