Question

【题目】如图，在底面为正方形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，点E是线段PC的中点．

（1）求异面直线AP与BE所成角的大小；

（2）若点F在线段PB上，使得二面角F－DE－B的正弦值为，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

试题分析：由已知条件可得两两垂直，因此以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，（2）求得的夹角可得异面直线AP与BE所成角的大小（这个角是锐角）；（2），再求出的坐标，然后求出平面和平面的法向量，则法向量夹角与二面角相等或互补，可得出的方程，解之可得值．

试题解析：（1）在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，所以DA、DC、DP两两垂直，故以为正交基底，建立空间直角坐标系D－xyz．

因为PD＝DC，所以DA＝DC＝DP，不妨设DA＝DC＝DP＝2，

则D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），B（2，2，0）．

因为E是PC的中点，所以E（0，1，1）．

所以＝（－2，0，2），＝（－2，－1，1），

所以cos<，>＝，

从而<，>＝

因此异面直线AP与BE所成角的大小为．

（2）由（1）可知，＝（0，1，1），＝（2，2，0），＝（2，2，－2）．

设＝λ，则＝（2λ，2λ，－2λ），从而＝＋＝（2λ，2λ，2－2λ）．

设m＝（x1，y1，z1）为平面DEF的一个法向量，

则即

取z1＝λ，则y1＝－λ，x1＝2λ－1．

所以m＝（2λ－1，－λ，λ）为平面DEF的一个法向量．

设n＝（x2，y2，z2）为平面DEB的一个法向量，

则即

取x2＝1，则y2＝－1，z2＝1．

所以n＝（1，－1，1）为平面BDE的一个法向量．

因为二面角F－DE－B的正弦值为，所以二面角F－DE－B的余弦的绝对值为，

即|cos<m，n>|＝，

所以，，

化简得，4λ2＝1，因为点F在线段PB上，所以0≤λ≤1，所以λ＝，即．