Question

过抛物线y²＝4x的焦点F作直线l与抛物线交于A、B．

(Ⅰ)求证：△AOB不是直角三角形；

(Ⅱ)当l的斜率为时，抛物线上是否存在点C，使△ABC为直角三角形且B为直角(B在x轴下方)？若存在，求出所有的点C；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)∵焦点F为(1，0)，过点F且与抛物线交于点A、B的所有直线可设为ky＝x－1，(也可分斜率存在与不存在两种情况设直线方程) 　　代入抛物线y2＝4x得：y2－4ky－4＝0，则有yAyB＝－4，　　(2分) 　　进而xAxB＝．　　(4分) 　　又， 　　知∠AOB为钝角，故△AOB不是直角三角形．　　(6分) 　　(Ⅱ)由题意得AB的方程为4x－3y－4＝0，代入抛物线y2＝4x中 　　求得A(4，4)，B(，－1)　　(8分) 　　假设抛物线上存在点C()，使△ABC为直角三角形且B为直角， 　　此时，有 　　整理得：3t2＋16t＋13＝0　　(10分) 　　解得t1＝－1对应点B，t2＝－对应点C　　(12分) 　　则抛物线上存在点C()，使△ABC为直角三角形，且B为直角． 　　故满足条件的点C有一个：C()．　　(13分)