Question

【题目】如图所示，在矩形ABCD中，AD=2，AB=1，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′﹣EC﹣B是直二面角．

（1）证明：BE⊥CD′；
（2）求二面角D′﹣BC﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AD=2，AB=1，E是AD的中点，

∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，

∵AB=AE=DE=CD，∠BAE=∠CDE=90°，

∴∠BEC=90°，∴BE⊥EC．

又∵平面D'EC⊥平面BEC，面D'EC∩面BEC=EC，

∴BE⊥面D'EC，

又CD'面D'EC，∴BE⊥CD'

（2）解：法一：设M是线段EC的中点，过M作MF⊥BC垂足为F，

连接D'M，D'F，则D'M⊥EC，

∵平面D'EC⊥平面BEC，

∴D'M⊥平面BEC，∴D'M⊥BC，

∴BC⊥平面D′MF，∴D'F⊥BC，

∴∠D'FM是二面角D'﹣BC﹣E的平面角．

在Rt△D'MF中，D'M= ， ，

∴ ，

∴二面角D'﹣BC﹣E的余弦值为 ．

法二：分别以EB，EC所在的直线为x轴、y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z轴，

建立如图空间直角坐标系．

则 ， ， ，

．

设平面BEC的法向量为 ，

平面D'BC的法向量为 ，

则 ，取x2=1，得 =（1，1，1），

cos＜ ＞= = ，

∴二面角D'﹣BC﹣E的余弦值为

【解析】（1）由已知得BE⊥EC．从而BE⊥面D'EC，由此能证明BE⊥CD'．（2）法一：设M是线段EC的中点，过M作MF⊥BC垂足为F，则∠D'FM是二面角D'﹣BC﹣E的平面角．由此能求出二面角D'﹣BC﹣E的余弦值．法二：分别以EB，EC所在的直线为x轴、y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出二面角D'﹣BC﹣E的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识点，需要掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点才能正确解答此题．