Question

给出下列四个命题：
（1）函数y=3sin

x

2

+4cos

x

2

的定义域为[0，2π]，则值域为[-5，5]；
（2）三角方程tan（5x+

2π

9

）=

2

在[0，π]内有5个解；
（3）对任意的α∈R，三角公式sin2α=

2tanα

1+tan2α

是一定成立的；
（4）函数y=cosx与y=arccosx（|x|≤1）互为反函数．
其中正确的个数是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：（1）利用辅助角公式求函数的周期即可．（2）利用正切函数的周期判断．（3）利用正切函数的定义域判断．（4）关键反函数的定义进行判断．

解答：解：（1）由数y=3sin

x

2

+4cos

x

2

得y=5sin（

x

2

+θ），θ为参数，则函数的周期T=

2π

1 2

=4π，
因为定义域为[0，2π]，为半个周期，所以最大值5和最小值-5在[0，2π]内不能同时取得，所以（1）错误．
（2）因为正切函数的周期为T=

π

5

，所以[0，π]为5个周期长度．所以又因为正切函数在每个周期内都是单调递增函数，所以tan（5x+

2π

9

）=

2

在[0，π]内有5个解，所以（2）正确．
（3）因为正切函数的定义域为{α|α≠kπ+

π

2

}，所以（3）不一定恒成立．，所以（3）错误．
（4）因为y=cosx在定义域内不是单调函数，所以在定义域内，函数y=cosx内没有反函数，所以（4）错误．
故选B．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握正弦函数，余弦函数和正切函数的性质．