Question

（满分18分）本题有2小题，第1小题9分，第2小题9分．

在中，、为定点，为动点，记、、的对边分别为、、，已知，．

（1）证明：动点一定在某个椭圆上，并求出该椭圆的标准方程；

（2）设点为坐标原点，过点作直线与（1）中的椭圆交于两点，若，求直线的方程．

Answer 1

解：（1）在中，由余弦定理，有， ……………1分

，…………………………3分

所以，点的轨迹是以为焦点，长轴长的椭圆．…… ………………1分

如图，以、所在的直线为x轴，以、的中点为坐标原点建立直角坐标系．

则，和．

椭圆的标准方程为：．………………………………………………………4分

（2）设，

①当垂直于轴时，的方程为，不符题意．………………………………1分

②当不垂直于轴时，设的方程为．

由得：，………………………………2分

所以，．

于是：． ……………2分

因为，所以，

所以， ………………………………………………………2分

所以，，       ……………………………………………………………………1分

所以，直线的方程为：……………………………………………………1分