Question

如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，B为切点，OC平行于弦AD，连结CD.
 
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点P，求证：P点平分线段DE.

Answer 1

（1）见解析（2）见解析

(1)连结OD，
∵OC∥AD，
∴∠1＝∠ADO，∠2＝∠DAO.
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠1＝∠2.
∵OC＝OC，OB＝OD，
∴△DOC≌△BOC，
∴∠ODC＝∠OBC.
∵OB是⊙O的半径，BC是⊙O的切线，
∴BC⊥OB，∴∠OBC＝90°，
∴∠ODC＝90°，∴CD⊥OD.
又∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
 
(2)证法一：过点A作⊙O的切线AF，交CD的延长线于点F，则FA⊥AB.
∵DE⊥AB，由(1)知CB⊥AB，
∴FA∥DE∥CB，∴.
在△FAC中，∵DP∥FA，∴.
∵FA，FD是⊙O的切线，∴FA＝FD，
∴，∴
在△ABC中，∵EP∥BC，∴.
∵CD，CB是⊙O的切线，∴CB＝CD，
∴.
∴，∴DP＝EP.
∴点P平分线段DE.
证法二：辅助线同上．
由(1)及已知条件知BC，CD，AF为⊙O的切线，B，D，A为切点，
∴CB＝CD，FA＝FD.
设CD＝m，FD＝n.
∵DE⊥AB，∴AF∥DE∥BC.
∴，即PD＝，PE＝，
∴PD＝PE，因此P点平分线段DE.