Question

已知函数f(x)=2sinωx•cosωx+2

3

cos2ωx-

3

（其中ω＞0），直线x=x₁、x=x₂是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为

π

2

．
（1）求ω的值；
（2）若f(α)=

2

3

，求sin(

5π

6

-4α)的值．

Answer 1

分析：（1）根据二倍角的三角函数公式化简，结合辅助角公式合并得f(x)=2sin(2ωx+

π

3

)，由三角函数的对称轴公式结合题意可得周期T=π，从而算出ω的值是1；
（2）由（1）得到函数的解析式为f(x)=2sin(2x+

π

3

)，结合f(α)=

2

3

算出sin(2α+

π

3

)=

1

3

．结合三角函数诱导公式进行配角：

5π

6

-4α=

3π

2

-2(2α+

π

3

)，再利用二倍角的余弦公式即可算出sin(

5π

6

-4α)的值．

解答：解：（1）∵sinωxcosωx=

1

2

sin2ωx，cos²ωx=

1

2

（1+cos2ωx）
∴f(x)=sin2ωx+

3

cos2ωx=2sin(2ωx+

π

3

)…（2分），
又∵直线x=x₁、x=x₂是y=f（x）图象的两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为

π

2

，
∴函数的最小正周期T=2×

π

2

=π…（3分），
由此可得T=

2π

2ω

=

π

ω

，解之得ω=1…（4分），
（2）由（1）得函数的解析式为f(x)=2sin(2x+

π

3

)，
由f(α)=

2

3

得sin(2α+

π

3

)=

1

3

…（8分），
∵

5π

6

-4α=

3π

2

-2(2α+

π

3

)，
∴sin(

5π

6

-4α)=sin[

3π

2

-2(2α+

π

3

)]=-cos2(2α+

π

3

)，…（10分）
∵cos2(2α+

π

3

)=1-2sin2(2α+

π

3

)=1-

2

9

=

7

9

∴sin(

5π

6

-4α)=-

7

9

…（12分）

点评：本题给出三角函数表达式，再已知函数的周期情况下求函数的表达式，并依此求特殊的三角函数值．着重考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换和诱导公式等知识，属于中档题．