Question

13£®£¨1£©ÒÑÖªÊýÁÐ{a_n}ΪµÈ²îÊýÁУ¬ÆäÇ°nÏîºÍΪS_n£®Èôa₄+a₅=0£¬ÊÔ·Ö±ð±È½ÏS₅ÓëS₃¡¢S₂ÓëS₆µÄ´óС¹Øϵ£®
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£¨3£©ÔڵȱÈÊýÁÐ{b_n}ÖУ¬Éè{b_n}µÄÇ°nÏî³Ë»ýT_n=b₁•b₂•b₃¡­b_n£¬Àà±È£¨2£©µÄ½áÂÛ£¬Ð´³öÒ»¸öÓëT_nÓйصÄÀàËƵÄÕæÃüÌ⣬²¢Ö¤Ã÷£®

Answer 1

·ÖÎö £¨1£©ÉèµÈ²îÊýÁÐ{a_n}µÄ¹«²îΪd£¬ÓÉa₄+a₅=0£¬¿ÉµÃ${a}_{1}=-\frac{7}{2}d$£®·Ö±ðÀûÓõȲîÊýÁеÄÇ°nÏîºÍ¹«Ê½¿ÉµÃ£ºS₅£¬S₃£¬S₂£¬S₆£®¼´¿ÉµÃ³ö´óС¹Øϵ£®
£¨2£©ÉèµÈ²îÊýÁÐ{a_n}µÄ¹«²îΪd£¬´æÔÚÕýÕûÊýk£¬Ê¹a_k+a_k+1=0£¬¿ÉµÃa₁=$\frac{£¨1-2k£©d}{2}$£®×÷²îS_2k-m-S_m¼´¿ÉµÃ³ö£®
£¨3£©ÔڵȱÈÊýÁÐ{b_n}ÖУ¬Éè{b_n}µÄÇ°nÏî³Ë»ýT_n=b₁•b₂•b₃¡­b_n£¬Èô´æÔÚÕýÕûÊýk£¬Ê¹b_kb_k+1=1£¬ÔòT_m=T_2k-m£¨m¡ÊN*£¬m£¼2k£©£®ÀûÓõȱÈÊýÁеÄͨÏʽ¼°ÆäµÈ²îÊýÁеÄÇ°nÏîºÍ¹«Ê½¼´¿ÉµÃ³ö£®

½â´ð £¨1£©½â£ºÉèµÈ²îÊýÁÐ{a_n}µÄ¹«²îΪd£¬¡ßa₄+a₅=0£¬
¡à2a₁+7d=0£¬½âµÃ${a}_{1}=-\frac{7}{2}d$£®
¡àS₅=5a₁+$\frac{5¡Á4}{2}d$=-$\frac{15}{2}$d£¬
S₃=$3{a}_{1}+\frac{3¡Á2}{2}d$=-$\frac{15}{2}$d£¬
¡àS₅=S₃£®
S₂=$2{a}_{1}+\frac{2¡Á1}{2}d$=-6d£»
S₆=6a₁+$\frac{6¡Á5}{2}d$=-6d£®
µ±d¡Ý0ʱ£¬S₂¡ÝS₆£®
µ±d£¼0ʱ£¬S₂£¼S₆£®
£¨2£©Ö¤Ã÷£ºÉèµÈ²îÊýÁÐ{a_n}µÄ¹«²îΪd£¬
¡ß´æÔÚÕýÕûÊýk£¬Ê¹a_k+a_k+1=0£¬
¡à2a₁+£¨2k-1£©d=0£®
¡àa₁=$\frac{£¨1-2k£©d}{2}$£®
ÔòS_2k-m-S_m=£¨2k-m£©a₁+$\frac{£¨2k-m£©£¨2k-m-1£©}{2}$d-[$m{a}_{1}+\frac{m£¨m-1£©}{2}d$]
=£¨2k-2m£©¡Á$\frac{£¨1-2k£©d}{2}$+[2k²-k£¨2m+1£©+m]d
=[-2k²+£¨2m+1£©k-m]d+[2k²-k£¨2m+1£©+m]d
=0£®
£¨3£©ÔڵȱÈÊýÁÐ{b_n}ÖУ¬Éè{b_n}µÄÇ°nÏî³Ë»ýT_n=b₁•b₂•b₃¡­b_n£¬Èô´æÔÚÕýÕûÊýk£¬Ê¹b_kb_k+1=1£¬ÔòT_m=T_2k-m£¨m¡ÊN*£¬m£¼2k£©£®
Ö¤Ã÷£º¡ßb_kb_k+1=1£¬¡à${b}_{1}^{2}{q}^{2k-1}$=1£®
¡à$\frac{{T}_{2k-m}}{{T}_{m}}$=$\frac{{b}_{1}{b}_{2}•¡­•{b}_{2k-m}}{{b}_{1}{b}_{2}•¡­•{b}_{m}}$=$\frac{{b}_{1}^{2k-m}{q}^{1+2+¡­+£¨2k-m-1£©}}{{b}_{1}^{m}{q}^{1+2+¡­+£¨m-1£©}}$=$\frac{{b}_{1}^{2k-m}{q}^{£¨2k-m£©£¨2k-m-1£©}}{{b}_{1}^{m}{q}^{\frac{m£¨m-1£©}{2}}}$=$£¨{b}_{1}^{2}{q}^{2k-1}£©^{k-m}$=1£®
ÔòT_m=T_2k-m£¨m¡ÊN*£¬m£¼2k£©£®

µãÆÀ ±¾Ì⿼²éÁ˵ÝÍƹØϵµÄÓ¦ÓᢵȲîÊýÁеÄͨÏʽ¼°ÆäÇ°nÏîºÍ¹«Ê½£¬¿¼²éÁËÍÆÀíÄÜÁ¦Óë¼ÆËãÄÜÁ¦£¬ÊôÓÚÖеµÌ⣮