Question

13．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，A=$\frac{π}{3}$，cosB=$\frac{1}{7}$
（1）求sinC的值；
（2）若2c=b+2，求三边a，b．c的长，并求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用两角和差的正弦公式即可求sinC的值；
（2）根据正弦定理求出a，b，c的值，结婚三角形的面积公式进行求解，

解答 解（1）∵A=$\frac{π}{3}$，cosB=$\frac{1}{7}$，
∴$sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\frac{1}{7}+\frac{1}{2}×\frac{{4\sqrt{3}}}{7}=\frac{{5\sqrt{3}}}{14}$．
（2）∵cosB=$\frac{1}{7}$
∴sinB=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
则$a：b：c=sinA：sinB：sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}：\frac{{4\sqrt{3}}}{7}：\frac{{5\sqrt{3}}}{14}=7：8：5$
设a=7k，b=8k，c=5k，由2c=b+2得：10k=8k+2，k=1
所以a=7，b=8，c=5，
则${s_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=10\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键．