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13.在△ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a,b,c,A=$\frac{π}{3}$,cosB=$\frac{1}{7}$
(1)求sinC的值;
(2)若2c=b+2,求三边a,b.c的长,并求△ABC的面积.

分析 (1)利用两角和差的正弦公式即可求sinC的值;
(2)根据正弦定理求出a,b,c的值,结婚三角形的面积公式进行求解,

解答 解(1)∵A=$\frac{π}{3}$,cosB=$\frac{1}{7}$,
∴$sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\frac{1}{7}+\frac{1}{2}×\frac{{4\sqrt{3}}}{7}=\frac{{5\sqrt{3}}}{14}$.
(2)∵cosB=$\frac{1}{7}$
∴sinB=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$,
则$a:b:c=sinA:sinB:sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}:\frac{{4\sqrt{3}}}{7}:\frac{{5\sqrt{3}}}{14}=7:8:5$
设a=7k,b=8k,c=5k,由2c=b+2得:10k=8k+2,k=1
所以a=7,b=8,c=5,
则${s_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=10\sqrt{3}$.

点评 本题主要考查解三角形的应用,根据正弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键.

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