Question

10．已知函数f（x）=2cosx（$\sqrt{3}$sinx+cosx）+m，（x∈R，m∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值是6，求f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得函数f（x）的最小正周期．
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得m的值，从而求得f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值．

解答 解：（1）函数f（x）=2cosx（$\sqrt{3}$sinx+cosx）+m
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1+m=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1+m，
故函数f（x）的最小正周期为π．
（2）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
故当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值为2+1+m=6，∴m=3．
故当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$时，f（x）取得最小值为-1+1+m=3．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、正弦函数的定义域和值域，属于基础题．