Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA=sin（A-B）+sinC．
（1）求角B的大小；
（2）若b²=ac，判断△ABC的形状；
（3）求证：

b•sin(C- π 6 )

(2c-a)•cosB

为定值．

Answer 1

分析：（1）由三角形的内角和定理及诱导公式得到sinC=sin（A+B），代入已知的等式中，并利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后，根据sinA不为0，再等号两边同时除以sinA，得到cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）由余弦定理得到b²=a²+c²-2accosB，把cosB，以及b²=ac代入，整理后得到a=c，进而得到三角形为等腰三角形，又B为

π

3

，故三角形为等边三角形；
（3）利用正弦定理化简所求的式子，并将其中的角C化为π-（A+B），并将B的度数代入，分子整理后利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简，分母利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后可得出其中为1，故所求式子为定值，得证．

解答：解：（1）∵sinA=sin（A-B）+sinC，且sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B），
∴sinA=sinAcosB-cosAsinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，
又sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，又B为三角形的内角，
则B=

π

3

；
（2）∵b²=ac，cosB=

1

2

，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：ac=a²+c²-ac，
即（a-c）²=0，
∴a=c，又B=

π

3

，
则△ABC为等边三角形；
（3）∵C=π-（A+B），B=

π

3

，
∴sin（C-

π

6

）=sin[π-（A+

π

3

）-

π

6

]=sin（

π

2

-A）=cosA，sinC=sin（A+B），
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

化简得：

b•sin(C- π 6 )

(2c-a)•cosB

=

sinB•sin(C- π 6 )

(2sinC-sinA)•cosB

=

3 2 cosA

sin(A+ π 3 )-  1 2 sinA

=

3 2 cosA

1 2 sinA+ 3 2 cosA- 1 2 sinA

=1，
则

b•sin(C- π 6 )

(2c-a)•cosB

为定值．

点评：此题考查了三角形形状的判断，以及三角函数的恒等变换，涉及的知识有：正弦、余弦定理，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，等边三角形的判定，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．