Question

（2012•合肥一模）已知函数f（x）的导函数的图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则一定成立的是（　　）

A．f（sinA）＞f（cosB）

B．f（sinA）＜f（cosB）

C．f（sinA）＞f（sinB）

D．f（cosA）＜f（cosB）

Answer 1

分析：根据导数的图象，得到函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．再由正弦函数的单调性和锐角三角形的性质，得到sinA＞cosB，所以f（sinA）＞f（cosB），得到正确选项．

解答：解：根据导数的图象，可知
当x＞0时，f'（x）＞0；当x＜0时，f'（x）＜0
∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，在区间（-∞，0）上是减函数
∵△ABC为锐角三角形，
∴A、B都是锐角，且A+B＞

π

2

由此可得0＜

π

2

-B＜A＜

π

2

，
因为正弦函数在锐角范围是增函数，所以对上式的两边取正弦得sin（

π

2

-B）＜sinA
∴sinA＞cosB，再结合f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，得f（sinA）＞f（cosB）
故选A

点评：本题以导数的符号判断函数的单调性，并在锐角三角形比较两个函数值的大小，着重考查了导数的性质和锐角三角形的性质等知识，属于基础题．