Question

2．已知a，b为正整数，且a+b=1，求证：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$≥4．

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）（a+b）=2+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$，由基本不等式可得．

解答 证明：∵a，b为正整数，且a+b=1，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）（a+b）
=2+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥2+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$=4，
当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{a}{b}$即a=b=$\frac{1}{2}$时取等号．

点评 本题考查不等式的证明，涉及基本不等式求最值问题，属基础题．