【题目】已知二次函数的对称轴为
,
.
(1)求函数的最小值及取得最小值时
的值;
(2)试确定的取值范围,使
至少有一个实根;
(3)当时,
,对任意
有
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1),此时
;(2)
的取值范围为
;(3)实数
的取值范围为
.
【解析】
试题分析:(1)利用基本不等式易得,此时
.(2)
至少有一个实根,即
与
的图象在
上至少有一个交点,由题意,可得
,
,则需
即可;(3)由题意,可得
,对任意
有
恒成立,即
,令
,
,∴
,∴
,
令,讨论函数
的单调性,即可得到实数
的取值范围.
试题解析:(1)∵,∴
,
∴,当且仅当
,即
时“=”成立,即
,此时
.
(2)的对称轴为
,∴
,∴
,
至少有一个实根,∴
至少有一个实根,
即与
的图象在
上至少有一个交点,
,∴
,
,
∴,∴
,∴
的取值范围为
.
(3)∵,∴
,
∴对任意有
恒成立,∴
,
令,
,∴
,∴
,
令,设
为
上任意两不等实数,且
,
∴,
∵,∴
,
,∴
,
∴在
上单调递增,
∴,∴
.
∴实数的取值范围为
.
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【题目】口袋中装有质地大小完全相同的5个球,编号分别为1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一种游戏:甲先摸一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号.如果两个编号的和为偶数就算甲胜,否则算乙胜.
(1)求甲胜且编号的和为6的事件发生的概率;
(2)这种游戏规则公平吗?说明理由.
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【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)函数的图象与
的图象无公共点,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)是否存在实数,使得对任意的
,都有函数
的图象在
的图象的下方?若存在,请求出整数
的最大值;若不存在,请说理由.
(参考数据:,
,
).
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【题目】为方便市民休闲观光,市政府计划在半径为200米,圆心角为的扇形广场内(如图所示),沿
边界修建观光道路,其中
分别在线段
上,且
两点间距离为定长
米.
(1)当时,求观光道
段的长度;
(2)为提高观光效果,应尽量增加观光道路总长度,试确定图中两点的位置,使观光道路总长度达到最长?并求出总长度的最大值.
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【题目】如图,GH是东西方向的公路北侧的边缘线,某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建设一仓库,设,并在公路北侧建造边长为
的正方形无顶中转站CDEF(其中EF在GH上),现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB,AC,已知AB=AC+1,且
.
(1)求关于
的函数解析式,并求出定义域;
(2)如果中转站四堵围墙造价为10万元/km,两条道路造价为30万元/km,问:取何值时,该公司建设中转站围墙和两条道路总造价M最低.
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【题目】在一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投3次,在处每投进一球得3分;在
处每投进一球得2分,如果前两次得分之和超过3分就停止投篮;否则投第3次,某同学在
处的抽中率
,在
处的抽中率为
,该同学选择现在
处投第一球,以后都在
处投,且每次投篮都互不影响,用
表示该同学投篮训练结束后所得的总分,其分布列为:
0 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
0.03 |
(1)求的值;
(2)求随机变量的数学期望
;
(3)试比较该同学选择上述方式投篮得分超过3分与选择都在处投篮得分超过3分的概率的大小.
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【题目】已知等差数列{an}中,a2=5,S5=40.等比数列{bn}中,b1=3,b4=81,
(1)求{an}和{bn}的通项公式
(2)令cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn.
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【题目】已知为坐标原点,椭圆
:
的左、右焦点分别为
,右顶点为
,上顶点为
, 若
成等比数列,椭圆
上的点到焦点
的最短距离为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设为直线
上任意一点,过
的直线交椭圆
于点
,且
,求
的最小值.
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