Question

7．如图，已知四棱锥V-ABCD中，四边形ABCD为正方形，VA=VB=VC=CD，若AB=2，VC=2．
（1）证明平面VAC⊥平面VBD；
（2）求正四棱锥V-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）如图所示，设AC∩BD=O，连接VO．利用正方形的性质可得：BD⊥AC，OA=OC，再利用等腰三角形的性质可得VO⊥AC，利用线面垂直的判定定理可得AC⊥平面VBD，即可证明．
（2）由（1）可知：VO⊥AC，同理可得VO⊥BD，可得VO⊥平面ABCD．再利用四棱锥的体积计算公式即可得出．

解答 （1）证明：如图所示，设AC∩BD=O，连接VO．
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OA=OC，
又VA=VC，
∴VO⊥AC，
又VO∩BD=O，
∴AC⊥平面VBD，
∵AC?平面VAC，
∴VAC⊥平面CBD．
（2）解：由（1）可知：VO⊥AC，同理可得VO⊥BD，
AC∩BD=O，
∴VO⊥平面ABCD．
由正方形ABCD，AB=2，可得AC=2$\sqrt{2}$．
∴AO=$\sqrt{2}$，
又VA=2．
∴VO=$\sqrt{V{A}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴正四棱锥V-ABCD的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{正方形ABCD}•VO$=$\frac{1}{3}×{2}^{2}×\sqrt{2}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、线面及其面面垂直的判定与性质定理、四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．