Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知M，N分别为线段BB1，A1C的中点，MN⊥AA1，且MA1＝MC.求证：

（1）MN平面ABC；

（2）平面A1MC⊥平面A1ACC1.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】

（1）取AC中点P，连结NP，BP，推导出四边形PNMB是平行四边形，从而MN∥BP，由此能证明MN∥平面ABC；

（2）推导出MN⊥A1C，MN⊥AA1，从而MN⊥平面A1ACC1，由此能证明平面A1MC⊥平面A1ACC1.

（1）取AC中点P，连结NP，BP，∵N是A1C中点，P为AC中点，

∴PN∥AA1，且BB1＝AA1，又M为BB1中点，∴BM∥AA1，且BM＝AA1，

∴PN∥BM，且PN＝BM，∴四边形PNMB是平行四边形，∴MN∥BP，

∵MN平面ABC，BP平面ABC，∴MN∥平面ABC.

（2）∵MA1＝MC，且N是A1C的中点，∴MN⊥A1C，

又MN⊥AA1，AA1∩A1C＝A1，

A1C，AA1平面A1ACC1，∴MN⊥平面A1ACC1，

∵MN平面A1MC，∴平面A1MC⊥平面A1ACC1.