Question

设等比数列{a_n}的公比为q，前n项和为S_n，若S_n+1，S_n，S_n+2成等差数列，则q的值为

 

．

Answer 1

分析：首先由S_n+1，S_n，S_n+2成等差数列，可得2S_n=S_n+1+S_n+2，然后利用等比数列的求和公式分别表示S_n+1，S_n，S_n+2，注意分q=1和q≠1两种情况讨论，解方程即可．

解答：解：设等比数列{a_n}的公比为q，前n项和为S_n，且S_n+1，S_n，S_n+2成等差数列，则2S_n=S_n+1+S_n+2，
若q=1，则S_n=na₁，式显然不成立，
若q≠1，则为2

a1(1-qn)

1-q

=

a1(1-qn+1)

1-q

+

a1(1-qn+2)

1-q

，
故2qⁿ=qⁿ⁺¹+qⁿ⁺²，
即q²+q-2=0，
因此q=-2．
故答案为-2．

点评：涉及等比数列求和时，若公比为字母，则需要分类讨论．