Question

如图，抛物线y=x²上有一点A（a，a²），a∈（0，1），过点A引抛物线的切线l分别交x轴与直线x=1于B，C两点，直线x=1交x轴于点D．
（1）求切线l的方程；
（2）求图中阴影部分的面积S（a），并求a为何值时，S（a）有最小值？

Answer 1

分析：（1）利用导数的运算法则可得y′，利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，进而得到切线的方程；
（2）利用切线的方程即可得出点B，C的坐标，再利用微积分基本定理即可得出阴影部分的面积S(a)=

∫

1 0

x2dx-S△BCD，再利用导数即可得出．

解答：解：（1）∵y=x²，∴y'=2x，
∴切线l的方程是y-a²=2a（x-a），即2ax-y-a²=0；
（2）由2ax-y-a²=0，令y=0，解得x=

a

2

，∴B(

a

2

，0)；
令x=1，解得y=2a-a²；
∴|BD|=1-

a

2

，|CD|=2a-a²，
∴S△BCD=

1

2

|BD||CD|=

1

4

(a3-4a2+4a)．
∴S(a)=

∫

1 0

x2dx-S△BCD=

1

3

-

1

4

(a3-4a2+4a)．
∴S′(a)=-

1

4

(3a2-8a+4)=-

1

4

(a-2)(3a-2)．
令S'（a）=0，∵a∈（0，1），∴a=

2

3

．
当a∈(0，

2

3

)时，S'（a）＜0；
当a∈(

2

3

，1)时，S'（a）＞0．
∴a=

2

3

时，S（a）有最小值．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、微积分基本定理、导数的几何意义等是解题的关键．