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    （2011•开封一模）已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的上项点为B1，右、右焦点为F1、F2，△B1F1F2是面积为
    		3
    的等边三角形．
    （I）求椭圆C的方程；
    （II）已知P（x0，y0）是以线段F1F2为直径的圆上一点，且x0＞0，y0＞0，求过P点与该圆相切的直线l的方程；
    （III）若直线l与椭圆交于A、B两点，设△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G、H，请问原点O在以线段GH为直径的圆内吗？若在请说明理由．
    分析：（I）利用三角形的面积公式和等边三角形的性质可得
    1
    2
    b•2c    =
    		3
    ，a=2c，又a2=b2+c2．即可解出．
    （Ⅱ）由F1F2是圆的一条直径，可得圆的方程为x2+y2=1．又P（x0，y0）是该圆在第一象限部分上的切线的切点，可得kl•
    y0
    x0
    =-1    ，解得kl=-
    x0
    y0
    ．可得切线方程为y-y0=-
    x0
    y0
    (x-x0)    ，又
    x
    2
    0
    +
    y
    2
    0
    =1    ，即可得出；．
    （III）设A（x1，y1），B（x2，y2），据重心定理可得G(
    x1
    3
    ，
    y1
    3
    )    ，H(
    x2
    3
    ，
    y2
    3
    )    ．若原点O在以线段GH为直径的圆内?
    OH
    •
    OG
    ＜0    ?x1x2+y1y2＜0，联立
    x0x+y0y-1=0
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1
    ，可得y1+y2，y1y2，又x1x2=
    1-y0y1
    x0
    •
    1-y0y2
    x0
    ，即可证明x1x2+y1y2＜0．
    解答：解：（I）∵
    1
    2
    b•2c    =
    		3
    ，a=2c，a2=b2+c2．
    解得c2=1，b2=3，a2=4，
    ∴椭圆C的方程为：
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1
    （Ⅱ）∵F1F2是圆的一条直径，∴圆的方程为x2+y2=1，
    又P（x0，y0）是该圆在第一象限部分上的切线的切点，
    ∴kl•
    y0
    x0
    =-1    ，解得kl=-
    x0
    y0
    ．
    ∴切线方程为y-y0=-
    x0
    y0
    (x-x0)    ，又
    x
    2
    0
    +
    y
    2
    0
    =1    ，
    化为l：x0x+y0y-1=0．
    ∴切线方程为l：x0x+y0y-1=0．
    （III）设A（x1，y1），B（x2，y2），则G(
    x1
    3
    ，
    y1
    3
    )    ，H(
    x2
    3
    ，
    y2
    3
    )    ．
    若原点O在以线段GH为直径的圆内，则
    OH
    •
    OG
    ＜0    ，即
    x1x2
    9
    +
    y1y2
    9
    ＜0    ，即x1x2+y1y2＜0，
    下面给出证明：联立
    x0x+y0y-1=0
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1
    ，
    消去x整理为(4
    x
    2
    0
    +3
    y
    2
    0
    )y2-6y0y+3-12
    x
    2
    0
    =0    ，
    ∴y1+y2=
    6y0
    4
    x
    2
    0
    +3
    y
    2
    0
    ，y1y2=
    3-12
    x
    2
    0
    4
    x
    2
    0
    +3
    y
    2
    0
    ，
    ∴x1x2=
    1-y0y1
    x0
    •
    1-y0y2
    x0
    =
    1-y0(y1+y2)+
    y
    2
    0
    y1y2
    x
    2
    0
    =
    4-12
    y
    2
    0
    4
    x
    2
    0
    +3
    y
    2
    0
    ，
    ∴x1x2+y1y2=
    7-12(
    x
    2
    0
    +
    y
    2
    0
    )
    4
    x
    2
    0
    +3
    y
    2
    0
    =-
    5
    x
    2
    0
    +3
    ＜    0．
    ∴原点O在以线段GH为直径的圆内．
    点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量数量积运算、直线与圆相切、点与圆的位置关系判定等基本知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力与计算能力．．
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