Question

13．已知函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，其中$\overrightarrow{a}$=（2cosx，-$\sqrt{3}$sin2x），$\overrightarrow{b}$=（cosx，1），x∈R
（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=-1，a=$\sqrt{7}$，且向量$\overrightarrow{m}$=（3，sinB）与向量$\overrightarrow{n}$=（2，sinC）共线，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，求出f（x）的解析式，利用三角函数的图象与性质求出f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）由f（A）=-1得到A的值，由a=$\sqrt{7}$，结合余弦定理得①，由向量$\overrightarrow{m}$=（3，sinB）与向量$\overrightarrow{n}$=（2，sinC）共线，结合正弦定理得②，联立①②得b，c的值，再由三角形的面积公式计算得答案．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b=（2cosx，-\sqrt{3}sin2x）•（cosx，1）$
=$2{cos^2}x-\sqrt{3}sin2x=cos2x-\sqrt{3}sin2x+1=1-2sin（2x-\frac{π}{6}）$，
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ（k∈z）$，
解得：$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ（k∈z）$．
∴函数y=f（x）的单调递减区间为$[-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ]（k∈z）$；
（Ⅱ）∵f（A）=-1，
∴$1-2sin（2A-\frac{π}{6}）=-1$，即$sin（2A-\frac{π}{6}）=1$．
∴$2A-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ（k∈z）$．
∴$A=\frac{π}{3}+kπ（k∈z）$．
又∵0＜A＜π，∴$A=\frac{π}{3}$．
∵$a=\sqrt{7}$，
∴由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc=7   ①
∵向量$\overrightarrow m=（3，sinB）$与$\overrightarrow n=（2，sinC）$共线，
∴2sinB=3sinC．
由正弦定理得2b=3c    ②
由①②得b=3，c=2．
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×2×3×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查了平面向量的应用问题以及三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数的余弦定理和正弦定理的应用，是中档题．