Question

已知直线l₁：y＝4x和点P(6，4)，过点P引一直线l与l₁交于点Q，与x轴正半轴交于点R，当△OQR的面积最小时，求直线l的方程.

Answer 1

活动：因为直线l过定点P(6，4)，所以只要求出点Q的坐标，就能由直线方程的两点式写出直线l的方程.

解：因为过点P(6，4)的直线方程为x=6和y-4=k(x-6).

当l的方程为x＝6时，△OQR的面积为S=72;当l的方程为y-4=k(x-6)时，点R的坐标为R(,0),点Q的坐标为Q(,),此时△OQR的面积S=××

=.

∵S≥0,∴R(R-4)＞0,∴R＞4或R＜0.

变形为(S-72)k²＋(96-4S)k-32=0(S≠72).

因为上述方程根的判别式Δ≥0，所以(96-4S)²+4·32(S-72)≥0,

解得16S(S-40)≥0,即S≥40,此时k=-1.

所以,当且仅当k=-1时，S有最小值40.

此时,直线l的方程为y-4=-(x-6)，即x＋y-10＝0.

点评：此题是一道有关函数最值的综合题.如何恰当选取自变量，建立面积函数是解答本题的关键.怎样求这个面积函数的最值，学生可能有困难，教师宜根据学生的实际情况进行启发和指导.