Question

已知集合A=a₁，a₂，a₃，…，a_n，其中a_i∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和a_i+a_j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．
（Ⅰ）设集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16，分别求l（P）和l（Q）；
（Ⅱ）若集合A=2，4，8，…，2ⁿ，求证：l(A)=

n(n-1)

2

；
（Ⅲ）l（A）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用定义把集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16中的值代入即可求出l（P）和l（Q）；
（Ⅱ）先由a_i+a_j（1≤i＜j≤n）最多有

C

2 n

=

n(n-1)

2

个值，可得l(A)≤

n(n-1)

2

；再利用定义推得所有a_i+a_j（1≤i＜j≤n）的值两两不同，即可证明结论．
（Ⅲ）l（A）存在最小值，设a₁＜a₂＜＜a_n，所以a₁+a₂＜a₁+a₃＜…＜a₁+a_n＜a₂+a_n＜…＜a_n-1+a_n．由此即可证明l（A）的最小值2n-3．

解答：解：（Ⅰ）根据题中的定义可知：由2+4=6，2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14，得l（P）=5．
由2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，得l（Q）=6．（5分）
（Ⅱ）证明：因为a_i+a_j（1≤i＜j≤n）最多有

C

2 n

=

n(n-1)

2

个值，所以l(A)≤

n(n-1)

2

．
又集合A=2，4，8，，2ⁿ，任取a_i+a_j，a_k+a_l（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n），
当j≠l时，不妨设j＜l，则a_i+a_j＜2a_j=2^j+1≤a_l＜a_k+a_l，
即a_i+a_j≠a_k+a_l．当j=l，i≠k时，a_i+a_j≠a_k+a_l．
因此，当且仅当i=k，j=l时，a_i+a_j=a_k+a_l．
即所有a_i+a_j（1≤i＜j≤n）的值两两不同，
所以l(A)=

n(n-1)

2

．（9分）
（Ⅲ）l（A）存在最小值，且最小值为2n-3．
不妨设a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n，可得a₁+a₂＜a₁+a₃＜…＜a₁+a_n＜a₂+a_n＜…＜a_n-1+a_n，
所以a_i+a_j（1≤i＜j≤n）中至少有2n-3个不同的数，即l（A）≥2n-3．
事实上，设a₁，a₂，a₃，，a_n成等差数列，
考虑a_i+a_j（1≤i＜j≤n），根据等差数列的性质，
当i+j≤n时，a_i+a_j=a₁+a_i+j-1；
当i+j＞n时，a_i+a_j=a_i+j-n+a_n；
因此每个和a_i+a_j（1≤i＜j≤n）等于a₁+a_k（2≤k≤n）中的一个，
或者等于a_l+a_n（2≤l≤n-1）中的一个．
所以对这样的A，l（A）=2n-3，所以l（A）的最小值为2n-3．（13分）

点评：本题考查集合与元素的位置关系和数列的综合应用，综合性较强，解题时注意整体思想和转化思想的运用，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误．