Question

已知点A（1，1）是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点，F₁，F₂是椭圆的两焦点，且满足|AF₁|+|AF₂|=4．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）求过A（1，1）与椭圆相切的直线方程；
（III）设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据椭圆的定义可知|AF₁|+|AF₂|=4=2a，然后将点A（1，1）代入椭圆方程即可求出a，b的值，从而确定椭圆的标准方程；（II）过点（x₀，y₀）与椭圆相切的切线方程为

x0 x

4

+

y0 y

4 3

=1，故可求；（III）先假设出直线AC的方程，然后联立直线与椭圆消去y得到关于x的一元二次方程，进而表示出点C的横坐标，再由AC、AD直线倾斜角互补可得到直线AD的方程，进而可得到D的横坐标，然后将点C、D的横坐标分表代入直线方程可得到其对应的纵坐标，即可得到答案．

解答：解：（I）由椭圆定义知：2a=4，∴a=2，∴

x2

4

+

y2

b2

=1
把（1，1）代入得

1

4

+

1

b2

=1，∴b2=

4

3

，∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

4 3

=1
（II）解：过A（1，1）点与椭圆相切的切线方程为：

x×1

4

+

y×1

4 3

=1
即：x+3y-4=0                           
（III）设AC方程为：y=k（x-1）+1与椭圆方程联立，消去y得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0
∵点A（1，1）在椭圆上，方程有一个根为x_A=1，∴xC=

3k2-6k-1

3k2+1

                          
∵直线AC、AD倾斜角互补，∴AD的方程为y=-k（x-1）+1
同理xD=

3k2+6k-1

3k2+1

，又
y_C=k（x_C-1）+1，y_D=-k（x_D-1）+1，
y_C-y_D=k（x_C+x_D）-2K
∴kCD=

1

3

，即直线CD的斜率为定值

1

3

点评：本题主要考查椭圆的标准方程和直线与椭圆的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是高考的重点问题，每年必考，且常以压轴题的形式出现，一定要强化复习．