Question

已知函数f（x）=cos²x+

3

sinxcosx-

1

2

．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）若f（a）=

4

5

，f（β+

π

6

）=

12

13

，且-

π

12

＜a＜

π

6

，-

π

4

＜β＜0，求f（α+β）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角函数的恒等式化简f（x），求出f（x）的最小正周期T与单调增区间；
（2）根据题意得f（a）=sin（2α+

π

6

），f（β+

π

6

）=cos2β，求出cos（2α+

π

6

）与sin2β的值；从而求出f（α+β）=sin（2（α+β）+

π

6

）的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=cos²x+

3

sinxcosx-

1

2

=

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x-

1

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x
=sin（2x+

π

6

），
∴f（x）的最小正周期是T=

2π

ω

=

2π

2

=π；
又∵-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴-

2π

3

+2kπ≤2x≤

π

3

+2kπ，k∈Z，
即-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调增区间是[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z；
（2）根据题意，f（a）=sin（2α+

π

6

）=

4

5

，
f（β+

π

6

）=sin（2（β+

π

6

）+

π

6

）=sin（2β+

π

2

）=cos2β=

12

13

，
∵-

π

12

＜a＜

π

6

，∴0＜2α+

π

6

＜

π

2

，
∴cos（2α+

π

6

）=

3

5

；
又∵-

π

4

＜β＜0，∴-

π

2

＜2β＜0，
∴sin2β=-

5

13

；
∴f（α+β）=sin（2（α+β）+

π

6

）
=sin[（2α+

π

6

）+2β]
=sin（2α+

π

6

）cos2β+cos（2α+

π

6

）sin2β
=

4

5

×

12

13

+

3

5

×（-

5

13

）=

33

65

．

点评：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数求值的问题，解题时应灵活应用三角函数的公式进行变换，是综合题．