Question

如图，已知圆E：，点，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．
（1）求动点Q的轨迹的方程；
（2）已知A，B，C是轨迹的三个动点，A与B关于原点对称，且，问△ABC的面积是否存在最小值？若存在，求出此时点C的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）；（2）存在最小值．点C的坐标为，，，

试题分析：（1）连结QF，由于线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，所以|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4，根据椭圆的定义知，动点Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．由此便可得其方程；（2）首先考虑直线AB的斜率为0或斜率不存在的情况，此时易得．当直线AB的斜率存在且不为0时，设斜率为k，则直线AB的直线方程为，将△ABC的面积用含k的式子表示出来，然后利用重要不等式求其最小值.
（1）连结QF，根据题意，|QP|＝|QF|，则|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4，
故动点Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆． 2分
设其方程为，可知，，则，  3分
所以点Q的轨迹的方程为为． 4分
（2）存在最小值． 5分

（ⅰ）当AB为长轴（或短轴）时，可知点C就是椭圆的上、下顶点（或左、右顶点），则． 6分
（ⅱ）方法一、当直线AB的斜率存在且不为0时，设斜率为k，则直线AB的直线方程为，设点，
联立方程组消去y得，，
由，知△ABC是等腰三角形，O为AB的中点，则OC⊥AB，可知直线OC的方程为，同理可得点C的坐标满足，，则，，                                        8分
则．           9分
由于，
所以，当且仅当，即时取等号．
综合（ⅰ）（ⅱ），当时，△ABC的面积取最小值， 11分
此时，，即，，
所以点C的坐标为，，，． 13分
方法二、前同（ⅰ），记，则，所以，
故，
当，即时，有最大值，此时取得最小值．
综合（ⅰ）（ⅱ），当时，△ABC的面积取得最小值． 11分
此时，，即，，
所以点C的坐标为，，，． 13分
方法三、设，，根据A，B两点关于原点对称，
则，所以，
由，知△ABC是等腰三角形，O为AB的中点，则OC⊥AB，，，
由，                           ①
且点C在椭圆上，则             ②
联立①②，解得，，所以， 8分
所以， 9分
又，即，所以，
记，，，
则，当且仅当，即时等号成立，
综合（ⅰ）（ⅱ），当时，有最小值． 11分
所以点C的坐标为，，，． 13分