Question

20．已知抛物线x²=2py（p＞0）的焦点F是椭圆$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的一个焦点，若P，Q是椭圆与抛物线的公共点，且直线PQ经过焦点F，则该椭圆的离心率为$\sqrt{2}-1$．

Answer 1

分析 由题意，p=2c，P（$\sqrt{2pc}$，c），即P（2c，c），代入椭圆方程，可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{c}^{2}}{{b}^{2}}$=1，由此即可求出椭圆的离心率．

解答 解：由题意，p=2c，P（$\sqrt{2pc}$，c），即P（2c，c）
代入椭圆方程，可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{c}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
整理可得e⁴-6e²+1=0，
∵0＜e＜1，∴e=$\sqrt{2}-1$．
故答案为$\sqrt{2}-1$．

点评 本题考查抛物线与椭圆的综合，考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，属于中档题．