Question

已知椭圆E：

x2

5

+

y2

3

=1．
（1）在直线l：x-y+2=0上取一点P，过点P且以椭圆E的焦点为焦点的椭圆中，求长轴最短的椭圆C的方程；
（2）设P，Q，R，N都在椭圆C上，F为右焦点，已知

PF

∥

FQ

，

RF

∥

FN

且

PF

•

RF

=0，求四边形PRQN面积S的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由椭圆方程求出其两个焦点的坐标，利用在直线上取一点，使该点到直线同侧两点距离之和最小的方法得到长轴最短时的椭圆C的长半轴，进一步求出短半轴，则椭圆C的方程可求；
（2）当直线PQ的斜率存在且不等于0时，联立直线方程和椭圆方程，利用弦长公式求出|PQ|，
同理求出|RN|，代入平行四边形面积公式后利用基本不等式求面积的范围，当斜率不存在或斜率等于0时直接由面积公式求面积，取并集后可得答案．

解答：解：（1）设椭圆E：

x2

5

+

y2

3

=1的左右焦点为F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)．
又设F₁关于l的对称点F1′(-2，2-

2

)．
当点P为F1′F1与l的交点时，长轴最短．
此时，2a=|F1′F1|=

( 2 -2)2+(0-2+ 2 )2

=2

3

∴a²=3，∵c²=2，∴b²=1．
∴椭圆C：

x2

3

+y2=1；
（2）当直线PQ的斜率k存在，且k≠0时，设直线PQ方程为y=k（x-

2

）
由

y=k(x- 2 ) x2+3y2=3

，得(1+3k2)x2-6

2

k2x+6k2-3=0．
x1+x2=

6 2 k2

1+3k2

，x1x2=

6k2-3

1+3k2

．
|PQ|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

( 6 2 k2 1+3k2 )2-4× 6k2-3 1+3k2

=2

3

×

k2+1

3k2+1

．
同理求得|RN|=2

3

×

(- 1 k )2+1

3×(- 1 k )2+1

=2

3

×

1+k2

3+k2

．
∴S=

1

2

×|PQ|×|RN|=

1

2

×12×

k2+1

3k2+1

×

k2+1

3+k2

=2-

8k2

3k4+10k2+3

=2-

8

3(k2+ 1 k2 )+10

∵k2+

1

k2

∈[2，+∞)，∴S∈[

3

2

，2)．
当k不存在或k=0时，S=

1

2

×2a×

2b2

a

=2b2=2．
综上，S∈[

3

2

，2]．

点评：本题是直线和圆锥曲线的综合题，考查了圆锥曲线的简单几何性质，训练了利用弦长公式求线段的长度，考查了平行四边形的面积公式，体现了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，训练了利用基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，是综合性较强的题目．