Question

3．判断下列命题的真假，其中全是真命题的组合是（　　）
①若$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$均为非零向量，则$\overrightarrow a•\overrightarrow b=|{\overrightarrow a}|•|{\overrightarrow b}|$是$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$的充分不必要条件；
②若$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b-\overrightarrow c$是两个非零向量，则$\overrightarrow a•\overrightarrow b=\overrightarrow a•\overrightarrow c$是$\overrightarrow a⊥（\overrightarrow b-\overrightarrow c）$的充要条件；
③在△ABC中，若$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}＞0$，则△ABC是锐角三角形；
④在△ABC中，$\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|\overrightarrow{AB}|cos∠ABC}}+\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|\overrightarrow{AC}|cos∠ACB}}$与$\overrightarrow{BC}$向量垂直．

• A． ①②③
• B． ①③④
• C． ②③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 利用向量的数量积求出角判断①的正误；向量的数量积是否为0判断②的正误；向量的数量积的符号判断③的正误；向量数量积是否为0判断④的正误；

解答 解：①真命题．若$\overrightarrow a•\overrightarrow b=|\overrightarrow a|•|\overrightarrow b|$，则cosθ=1，θ=0，∴$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$；∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b=|{\overrightarrow a}|•|{\overrightarrow b}|$⇒$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$
若$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，$\overrightarrow a•\overrightarrow b=|\overrightarrow a|•|\overrightarrow b|cosθ$，∴θ=0或π；∴$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$不能说$\overrightarrow a•\overrightarrow b=|{\overrightarrow a}|•|{\overrightarrow b}|$，所以$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$均为非零向量，则$\overrightarrow a•\overrightarrow b=|{\overrightarrow a}|•|{\overrightarrow b}|$是$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$的充分不必要条件．
②真命题．$\overrightarrow a•\overrightarrow b=\overrightarrow a•\overrightarrow c?\overrightarrow a•\overrightarrow b-\overrightarrow a•\overrightarrow c=0?\overrightarrow a•（\overrightarrow b-\overrightarrow c）=0?\overrightarrow a⊥（\overrightarrow b-\overrightarrow c）$；
③假命题．$（\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cos∠ABC}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cos∠ACB}）•\overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{BC}|-|\overrightarrow{BC}|=0$$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=|{\overrightarrow{AB}}|•|{\overrightarrow{BC}}|cos（π-B）＞0⇒cosB＜0$，钝角三角形；
④真命题．$（\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cos∠ABC}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cos∠ACB}）•\overrightarrow{BC}$
=$\frac{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cos∠ABC}+\frac{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cos∠ACB}$
=$|\overrightarrow{BC}|-|\overrightarrow{BC}|=0$，
∴$\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|\overrightarrow{AB}|cos∠ABC}}+\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|\overrightarrow{AC}|cos∠ACB}}$与$\overrightarrow{BC}$向量垂直．
故选：D．

点评 本题考查命题的真假的判断，数量积的应用，考查计算能力．