Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}的首项a₁=a（a∈R），设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁、a₂、a₄恰为等比数列{b_n}的前三项．
（1）求数列{a_n}的通项公式及S_n；
（2）当n≥2时，比较An=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

与Bn=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

的大小．（可使用结论：n≥2时，2ⁿ＞n+1）

Answer 1

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a22=a1a4，得(a1+d)2=a1(a1+3d)，由此能够求出数列{a_n}的通项公式及S_n．
（2）由

1

Sn

=

2

a

(

1

n

-

1

n+1

)，知An=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

2

a

(1-

1

n+1

)．由{b_n}中，b₁=a，b₂=2a，知{b_n}是首项为a，公比为2的等比数列，由此能导出当a＞0时，A_n＜B_n；当a＜0时，A_n＞B_n．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a22=a1a4，…（1分）
得(a1+d)2=a1(a1+3d)…（2分）
∵d≠0，∴d=a，
∴a_n=na₁，Sn=

an(n+1)

2

．
（2）∵

1

Sn

=

2

a

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴An=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

2

a

(1-

1

n+1

)．
∵{b_n}中，b₁=a，b₂=2a，
∴{b_n}是首项为a，公比为2的等比数列，
∴bn=a×2n-1，
∴Bn=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=

2

a

(1-

1

2 n

)，
∵当n≥2时，2ⁿ＞n+1，
即1-

1

n+1

＜1-

1

2 n

，
∴当a＞0时，A_n＜B_n；当a＜0时，A_n＞B_n．

点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．