Question

本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．
（Ⅰ）选修4-2：矩阵与变换，
已知矩阵A=

0 1 a 0

，矩阵B=

0 2 b 0

，直线l1：x-y+4=0经矩阵A所对应的变换得直线l₂，直线l₂又经矩阵B所对应的变换得到直线l₃：x+y+4=0，求直线l₂的方程．
（Ⅱ）选修4-4：坐标系与参数方程，
求直线

x=-2+2t y=-2t

被曲线

x=1+4cosθ y=-1+4sinθ

截得的弦长．
（Ⅲ）选修4-5：不等式选讲，解不等式|x+1|+|2x-4|＞6．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据条件，可以求出矩阵A，B，从而可得变换公式，这样就可以求出直线l₂的方程．
（Ⅱ）曲线是圆，直线被圆截得的弦长，通常求出弦心距，利用勾股定理可求解；
（Ⅲ）将绝对值符号去掉，转化为一次不等式求解即可．

解答：（Ⅰ）解：BA=

0 2 b 0

0 1 a 0

=

2a 0 0 b

∴l₁变换到l₃的变换公式为

x′=2ax y′=by

∴2ax+by+4=0即直线l₁：x-y+4=0，则有

2a=1 b=-1

，∴a=

1

2

，b=-1
∴A=

0 1 1 2 0

，B=

0 2 -1 0

∴l₁变换到l₂的变换公式为

x′=y y′= 1 2 x

，∴

x=2y′ y=x′

∵直线l₁：x-y+4=0，
∴l₂：2y′-x′+4=0
即x-2y-4=0
（Ⅱ）解：直线

x=-2+2t y=-2t

的普通方程为：x+y+2=0…（2分）
曲线

x=1+4cosθ y=-1+4sinθ

，即圆心为（1，-1），半径为4的圆  …（4分）
则圆心（1，-1）到直线x+y+2=0的距离d=

|1-1+2|

12+12

=

2

…（5分）
设直线被曲线截得的弦长为t，则t=2

42-( 2

)2=2

14

，
∴直线被曲线截得的弦长为2

14

…（7分）
（Ⅲ）解：将绝对值符号去掉，进行分类讨论

x≥2 x+1+2x-4＞6

或

-1＜x＜2 x+1-2x+4＞6

或

x≤-1 -x-1-2x+4＞6

…（3分）
∴x＞3或x∈∅或x＜-1…（6分）
∴x∈（-∞，-1）∪（3，+∞）…（7分）

点评：高考中的选做题，通常是选取两道题，矩阵问题涉及到矩阵的变换，参数方程问题要消参，不等式问题要学会转化．