【题目】若函数对定义域内的每一个值,在其定义域内都存在唯一的,使成立,则称该函数为“依赖函数”.
(1)判断函数是否为“依赖函数”,并说明理由;
(2)若函数在定义域()上为“依赖函数”,求的取值范围;
(3)已知函数在定义域上为“依赖函数”.若存在实数,使得对任意的,不等式恒成立,求实数的最大值.
【答案】(1)不是“依赖函数”,见解析;(2)(3)实数的最大值为.
【解析】
(1)利用时,不可能成立,判断出不是“依赖函数”.
(2)结合指数型函数的单调性,利用“依赖函数”的定义,求得,由此将转化为,然后结合二次函数的单调性,求得的取值范围.
(3)根据与区间的位置关系进行分类讨论,结合二次函数的性质以及“依赖函数”的定义,求得的值.由此化简不等式为以为主变量的形式.利用判别式得到,结合存在性问题,由的最大值,求得的取值范围,从而求得的最大值.
(1)对于函数的定义域内存在,
则,无解,故不是“依赖函数”.
(2)因为在递增,故,即,
由,故,得,
从而在上单调递增,故,
(3)①若,故在上最小值为0,此时不存在,舍去;
②若故在上单调递减,
∴,解得(舍)或.
∴存在,使得对任意的,有不等式都成立,
即恒成立,由,
得,由,可得,
又在单调递减,故当时,,
从而,解得,
综上,故实数的最大值为.
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【题目】某校“凌云杯”篮球队的成员来自学校高一、高二共10个班的12位同学,其中高一(3)班、高二(3)各出2人,其余班级各出1人,这12人中要选6人为主力队员,则这6人来自不同的班级的概率为_____.
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【题目】如图,已知,B为AC的中点,分别以AB,AC为直径在AC的同侧作半圆,M,N分别为两半圆上的动点不含端点A,B,,且,则的最大值为______.
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【题目】已知变量、之间的线性回归方程为,且变量、之间的一-组相关数据如下表所示,则下列说法错误的是( )
A.可以预测,当时,B.
C.变量之间呈负相关关系D.该回归直线必过点
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【题目】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,F是侧面BCC1B1内的动点,且A1F∥平面D1AE,记A1F与平面BCC1B1所成的角为θ,下列说法正确的个数是( )
①点F的轨迹是一条线段
②A1F与D1E不可能平行
③A1F与BE是异面直线
④
A.1B.2C.3D.4
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【题目】如图,某人工景观湖外围有两条相互垂直的直线型公路ll,l2,且ll和l2交于点O.为了方便游客游览,计划修建一条连接公路与景观湖的直线型公路AB.景观湖的轮廓可以近似看成一个圆心为O,半径为2百米的圆,且公路AB与圆O相切,圆心O到ll,l2的距离均为5百米,设OAB=,AB长为L百米.
(1)求L关于的函数解析式;
(2)当为何值时,公路AB的长度最短?
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【题目】已知f(x)是定义在上的单调函数,且对任意的x∈都有,则方程的一个根所在的区间是( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
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【题目】某大学生从全校学生中随机选取名统计他们的鞋码大小,得到如下数据:
鞋码 | 合计 | ||||||||||
男生 | |||||||||||
女生 |
以各性别各鞋码出现的频率为概率.
()从该校随机挑选一名学生,求他(她)的鞋码为奇数的概率.
()为了解该校学生考试作弊的情况,从该校随机挑选名学生进行抽样调查.每位学生从装有除颜色外无差别的个红球和个白球的口袋中,随机摸出两个球,若同色,则如实回答其鞋码是否为奇数;若不同色,则如实回答是否曾在考试中作弊.这里的回答,是指在纸上写下“是”或“否”.若调查人员回收到张“是”的小纸条,试估计该校学生在考试中曾有作弊行为的概率.
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