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【题目】若函数对定义域内的每一个值,在其定义域内都存在唯一的,使成立,则称该函数为依赖函数”.

1)判断函数是否为依赖函数,并说明理由;

2)若函数在定义域)上为依赖函数,求的取值范围;

3)已知函数在定义域上为依赖函数”.若存在实数,使得对任意的,不等式恒成立,求实数的最大值.

【答案】(1)不是“依赖函数”,见解析;(2(3)实数的最大值为.

【解析】

1)利用时,不可能成立,判断出不是依赖函数”.

2)结合指数型函数的单调性,利用“依赖函数”的定义,求得,由此将转化为,然后结合二次函数的单调性,求得的取值范围.

3)根据与区间的位置关系进行分类讨论,结合二次函数的性质以及依赖函数的定义,求得的值.由此化简不等式为以为主变量的形式.利用判别式得到,结合存在性问题,由的最大值,求得的取值范围,从而求得的最大值.

1)对于函数的定义域内存在

,无解,故不是“依赖函数”.

2)因为递增,故,即

,故,得

从而上单调递增,故

3)①若,故上最小值为0,此时不存在,舍去;

②若上单调递减,

,解得(舍)或.

∴存在,使得对任意的,有不等式都成立,

恒成立,由

,由,可得

单调递减,故当时,

从而,解得

综上,故实数的最大值为.

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