Question

在正三棱锥S-ABC中，M、N分别为SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=4，则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积是（　　）

• A、36π
• B、72π
• C、144π
• D、48π

Answer 1

考点：球内接多面体

专题：综合题

分析：由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积．

解答： 解：∵三棱锥S-ABC正棱锥，
∴SB⊥AC（对棱互相垂直），
∴MN⊥AC，
又∵MN⊥AM而AM∩AC=A，
∴MN⊥平面SAC即SB⊥平面SAC，
∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，
∴2R=4

3

，∴R=2

3

，∴S=4πR²=48π，
故选：D．

点评：本题是基础题，考查三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，三棱锥扩展为正方体，它的对角线长就是外接球的直径，是解决本题的关键．