Question

已知点F（0，1），直线l：y=-1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）A，B是轨迹M上异于坐标原点O的不同两点，轨迹M在点A，B处的切线分别为l₁，l₂，且l₁⊥l₂，l₁，l₂相交于点D，求点D的纵坐标．

Answer 1

分析：（1）设出P点坐标，求出Q的坐标，由

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

列式求解P点的轨迹M的方程；
（2）设出A，B的坐标，利用导数求出曲线在A，B处的切线的斜率，由斜率之积等于-1求出A，B的横坐标的乘积，再由点斜式写出轨迹M在点A，B处的切线方程，联立后求解交点的坐标可得答案．

解答：解：（1）设P（x，y），则Q（x，-1），∵

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

，
∴（0，y+1）•（-x，2）=（x，y-1）•（x，-2），
即2（y+1）=x²-2（y-1），即x²=4y，
∴动点P的轨迹M的方程x²=4y；
（2）设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
∵l₁、l₂分别是抛物线C在点A、B处的切线，
∴直线l₁的斜率k1=y′|x=x1=

x1

2

，直线l₂的斜率k2=y′|x=x2=

x2

2

．
∵l₁⊥l₂，∴k₁k₂=-1，得x₁x₂=-4．
∵A、B是抛物线C上的点，
∴y1=

x12

4

，y2=

x22

4

，
∴直线l₁的方程为y-

x12

4

=

x1

2

(x-x1)，直线l₂的方程为y-

x22

4

=

x2

2

(x-x2)．
由

y- x12 4 = x1 2 (x-x1) y- x22 4 = x2 2 (x-x2)

，解得

x= x1+x2 2 y=- 2 2 =-1

．
∴点D的纵坐标为-1．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了平面向量的数量积运算，训练了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了学生的计算能力，是中档题．